الإحصاء هو علم من فروع دراسة الرياضيات يدرس الظواهر المجتمعية، ويعد المنوال قيمة مهمة بالدراسات الإحصائية، وهو يعبر عن القيمة الأكثر تكرارًا في مجموعة من البيانات المدروسة، هناك عدة طرق لحساب المنوال ويمكن تطبيقه لتسهيل الحصول على نتائج من البيانات في أمور الحياة العملية. ما هو المنوال؟ وكيف يتم حساب المنوال؟
ما هو المنوال؟
المنوال هو مقياس من مقاييس النزعة المركزية المستخدمة لتحليل البيانات الإحصائية والتي تضم أيضًا الوسيط والمعدل. وهو عبارة عن قيمة يمكن من خلالها وصف القيمة المركزية لمجموعة البيانات الواجب دراستها.
يعبر المنوال عن القيمة أو العدد الأكثر تكرارًا في مجموعة من البيانات، حيث يتم حساب عدد الأرقام المكررة، ويكون المنوال هو العدد الأكثر تكرارًا بين الأعداد، أما في الجداول والفئات فيعتبر المنوال هو مركز الفئة الأكثر تكرارًا. وقد يتواجد منوال واحد لفئة البيانات بينما قد يتواجد منوالين، ومن الممكن أن لا يتواجد رقم منوال في الفضاء الاحتمالي حيث لا يشترط وجوده.
خواص المنوال
يعتبر المنوال من القيم الإحصائية المهمة، وله خصائص عديدة نذكر منها:
- هو أسهل قيمة في فهم الحساب بين قيم مقاييس النزعة المركزية.
- يمكن أن يتوافر منوال واحد أو أكثر لمجموعة البيانات.
- يمكن حساب المنوال لكافة أنواع البيانات النوعية والكمية.
- لا يتأثر المنوال بالقيم الشاذة والمتطرفة.
- يفضل ترتيب البيانات بشكل تصاعدي.
أمثلة عن حساب المنوال
مثال 1:
لنفترض أن لدينا مجموعة بيانات تتضمن الاعداد التالية:
(3،1، 3، 8، 9، 15،15، 15، 15، 17، 17،30، 27، 40، 44، 44)
يكون المنوال هو العدد 15 لأنه تكرر 4 مرات أي بشكل أكبر من بقية الأعداد.
مثال 2:
لدينا مجموعة الأعداد: (3، 7، 5، 13، 20، 23، 39، 23، 40، 23، 14، 12، 56، 23، 29) يكون المنوال هو العدد 23.
مثال 3:
لدينا جدول فئات وأسفلها عدد التكرارات، على الشكل الآتي: ( 1، 1، 2 ، 2، 2، 3، 4، 4، 4، 5، 6) هناك منوالين في هذه الحالة هما 2 و 4.
مثال 4:
لدينا عينة مكونة من الأعداد: ( 3 ، 4 ، 5 ، 9، 7) في هذه الحالة لا يوجد منوال.
مثال 5:
يوضح الجدول التالي نتيجة الطلاب في أحد الامتحانات، جد أقل قيمة ممكنة للقيمة (س)، علماً أن العدد 4 هو المنوال في هذا المثال. النتيجة عدد الطلاب 1 7 2 9 3 10 4 س 5 9 6 11 الحل: بما أن العدد 4 هو المنوال؛ فهذا يعني أنه القيمة الأكثر تكراراً في هذه البيانات، وعليه لا يمكن لقيمته أن تقل عن 12.
كيف يتم حساب المنوال
يتم حساب المنوال حسب نوع البيانات المقدمة للفضاء الإحصائي، ويتم بعدة طرق:
طريقة الترتيب التصاعدي أو التنازلي
يتم في هذه الطريقة ترتيب عينة الأعداد بشكل تصاعدي أو تنازلي وذلك من شأنه تسهيل إيجاد العدد الأكثر تكرارًا بينها، وقد تضم العينة منوالين وتسمى عندها العينة ثنائية المنوال، أو تضم أكثر من منوالين وتسمى العينة متعددة المنوال.
طريقة التجميع
تستعمل هذه الطريقة أحيانًا عندما تحمل كل القيم نفس عدد مرات التكرار، وفي هذه الحالة يجب تجميع القيم ضمن مجموعات لتقدير قيمة المنوال. ونذكر مثالًا عن هذه الطريقة لتوضيح الطريقة.
لدينا الأعداد التالية: (4، 7، 11، 16، 20، 22، 25، 26، 33) يلاحظ في هذه المجموعة عدم وجود قيمة أكثر تكرارًا، ولإيجاد منوال هذه المجموعة علينا تجميع الأعداد في مجموعات يتم تحديدها حسب قيم أعداد المجموعة، وفي هذه الحالة يتم تجميع الاعداد في مجموعات من 10 كما يلي:
- الأرقام 0 – 9 هناك 2 عدد (4 – 7).
- الأرقام 10 – 19 هناك عددان (11 – 16).
- الأرقام 20 – 29 هناك 4 أعداد (20 – 22 – 25 – 26).
- الأعداد 30 – 39 هناك 1 عدد (33).
في هذه الحالة نعتبر أن مجموعة الأعداد التي تظهر في القيم العشرينية أكثر تكرارًا من الأعداد الأخرى، وبالتالي نختار هذه المجموعة ويتم اختيار العدد الواقع في منتصفها وفي هذه الحالة يعتبر العدد 25 هو المنوال.
طريقة بيرسون لحساب المنوال
نستخدم طريقة بيرسون عند التعامل مع البيانات التي تأخذ شكل جداول تكرارية، يتم حساب المنوال في هذه الحالة عن طريق القانون التالي:
المنوال= أ+(ف1)/ (ف1+ف2)×ل. حيث:
- أ: الحد الأدنى للفئة المنوالية؛ أي بدايتها.
- ف1=ك – ك1 حيث ك: تكرار الفئة المنوالية، ك1: تكرار الفئة التي تسبقها.
- ف2=ك – ك2 حيث ك: تكرار الفئة المنوالية، ك1: تكرار الفئة التي تليها.
- ل: طول الفئة المنوالية.
للمزيد من الإيضاح نورد مثالًا يوضح طريقة حساب المنوال وفق قاعدة بيرسون:
لحساب المنوال لبيانات تمثل عدد القطع التي ينتجها 50 عاملًا في المعمل، أعطيت البيانات على الشكل التالي:
- عدد القطع 1 – 10: التكرار 8
- عدد القطع 11 – 20: التكرار 14
- عدد القطع 21 – 30: التكرار 12
- عدد القطع 31 – 40: التكرار 9
- عدد القطع 41 – 50: التكرار 7
لحل هذا السؤال نحدد الفئة المنوالية وهي الفئة الأكثر تكرارًا من عمود التكرارات، وهي الفئة 11 – 20 وتحتوي 14 تكرار، لذلك يكون الحد الأدنى للفئة المنوالية أ: 10،5
نحسب ف1 وهو تكرار الفئة المنوالية = 14 – 8 = 6
ف2 هو تكرار الفئة التي تلي الفئة المنوالية = 14 – 12 = 2
حساب قيمة ل وهي تعبر عن طول الفئة وتكون في مثالنا ل = 10
نعوض في القانون:
المنوال= أ+((ف1)/ (ف1+ف2))×ل
=10.5+(6)/(6+2)×10=18
عيوب المنوال
يؤخذ على قيمة المنوال أنها:
- غير شاملة في بعض الحالات حيث أنها تهمل القيم الغير مكررة.
- يتأثر حساب المنوال بأخطاء المعاينة.
- لا يخضع المنوال للعمليات الحسابية الجبرية.
في الختام نذكر أن المنوال ككل القيم الإحصائية يفيد في تحليل البيانات واتخاذ قرارات مدروسة تتعلق بالعينة مثال الدراسة، وهو سهل الحساب ويعد قانونًا رئيسيًا في علم الإحصاء.
إقرأ أيضًا: كيفية حساب الانحراف المعياري